形式幂级数 $F(z)=\sum_{n\geq 1}a_nz^n$ 当 $[z^1]F(z)\neq 0$ 时存在复合逆且可用 Lagrange 反演求出，这一事实是众所周知的。那么在环 $\mathbb C(\!(z)\!)$ 上，什么样的形式 Laurent 级数存在复合逆，其复合逆是什么样的？记存在复合逆的那些形式 Laurent 级数的集合为 $\mathbb C(\![z]\!)$（我自己搞的记号），结论是

$$ \mathbb C(\![z]\!)=z\mathbb C[\![z]\!]\cup\left\{f\in\mathbb C(\!(z)\!):f=\sum_{n\geq -1}a_nz^n\right\}\cup\left\{f\in\mathbb C(\!(z)\!):f=\sum_{n\geq 1}a_nz^{-n}\right\}. $$

其中 $[z^1]F(z)$ 或 $[z^{-1}]F(z)$ 中至少有一者非零的条件是显然的；因此以上集合应包括了所有存在复合逆的形式 Laurent 级数。

下面记

$$ \begin{aligned} \mathbb C_{1}(\![z]\!)&:=\left\{f\in\mathbb C(\!(z)\!):f=\sum_{n\geq -1}a_nz^n\right\},\\ \mathbb C_2(\![z]\!)&:=\left\{f\in\mathbb C(\!(z)\!):f=\sum_{n\geq 1}a_nz^{-n}\right\}, \end{aligned} $$

我大致得到映射

$$ \begin{aligned} \varphi:\mathbb C_{1}(\![z]\!)&\longrightarrow\mathbb C_{2}(\![z]\!)\\ F&\longmapsto F^{\langle-1\rangle} \end{aligned} $$

是双射（命题 $\bf 1$）。即，$\mathbb C_1(\![z]\!)$ 中的所有级数的复合逆都在 $\mathbb C_2(\![z]\!)$ 中，反之亦然。

命题 $\bf 1$ 的证明

设 $G(z)$ 是 $F(z)$ 的复合逆，$G(z)=g_{-1}z^{-1}+g_0+g_1z+\cdots\in\mathbb C_1(\![z]\!)$，那么

$$ g_{-1}F(z)^{-1}+g_0+g_1F(z)+\cdots=z, $$

于是 $$ (g_{-1}F(z)^{-1}+g_0+g_1F(z)+\cdots)^{-1}=z^{-1}, $$

用 $z^{-1}$ 代入得

$$ (g_{-1}F(z^{-1})^{-1}+g_0+g_1F(z^{-1})+\cdots)^{-1}=z. $$

这表明 $F(z)$ 无非就是 $(G^{-1})^{\langle-1\rangle}(z^{-1})$，从而 $F(z)\in\mathbb C_2(\![z]\!)$。

若设 $G(z)=g_1z^{-1}+g_2z^{-2}+\cdots\in\mathbb C_2(\![z]\!)$，则对于其复合逆 $F(z)$ 我们观察到

$$ g_1F(z)^{-1}+g_2(F(z)^{-1})^2+\cdots=z, $$

于是

$$ F(z)=\left((G\circ z^{-1})^{\langle-1\rangle}\right)^{-1}, $$

它是最低存在 $z^{-1}$ 次项的形式 Laurent 级数，即 $F(z)\in\mathbb C_1(\![z]\!)$。

关于在扩充复平面上考虑的合理性

之前 rqy 给出一个在扩充复平面上考虑的方法：众所周知扩充复平面上在 $0$ 附近取值的 Laurent 级数在 $\mathbb C(\!(z)\!)$ 上是嵌入。于是我们可以考虑对形式 Laurent 级数进行值的代入。设 $\mathrm{ev}:\{\mathbb C^z\to\mathbb C\}\longrightarrow\mathbb C(\!(z)\!)$ 为这个嵌入，记 $\operatorname{ev}f(z)=F(z),\operatorname{ev}g(z)=G(z)$。对于 $F(z)\in\mathbb C_1(\![z]\!)$，由于 $f(0)=\infty$，故 $g(\infty)=0$，即它没有非零的非负项，所以必然有 $G(z)\in\mathbb C_2(\![z]\!)$。

对此我有一定的疑问，即：过程中对 $g(\infty)$ 进行的计算不一定合法。例如将此方法用以考虑 $F(z)\in\mathbb C_2(\![z]\!)$ 的情形时就得到错误的结论（$\infty$ 超出了 $g(z)$ Laurent 展开的收敛域）。